チラシの裏

暇だったので始めてみた。適当にいろいろかく。

数列空間の話

友人と関数解析の勉強をして、問題を思いついたので、texの打ち方の勉強も兼ねつつ、書いておこうと思います。

問題
{\displaystyle \{u_n\}_{n\in\mathbb{N}}}{\displaystyle \lim_{p \to \infty}(\sum_{n=1}^\infty |u_n|^p)^{\frac{1}{p}}\lt+\infty}を満たす複素数列とする。
この時、{\displaystyle \lim_{p \to \infty}(\sum_{n=1}^\infty |u_n|^p)^{\frac{1}{p}}= \sup_{n\in\mathbb{N}}|u_n|} を示せ。

<解答>
任意の {\displaystyle n\in\mathbb{N}}, {\displaystyle p\gt0} に対して、 {\displaystyle |u_n|=(|u_n|^p)^\frac{1}{p}\leq(\sum_{k=1}^\infty |u_k|^p)^{\frac{1}{p}}} より

{\displaystyle \sup_{n\in\mathbb{N}}|u_n| \leq \lim_{p \to \infty}(\sum_{n=1}^\infty |u_n|^p)^{\frac{1}{p}} } がなりたつ。

逆向きの不等号を示す。

{\displaystyle \lim_{p \to \infty}(\sum_{n=1}^\infty |u_n|^p)^{\frac{1}{p}} \lt +\infty} より、十分大きな {\displaystyle P\gt0} が存在して、
{\displaystyle(\sum_{n=1}^\infty |u_n|^P)^{\frac{1}{P}} \lt +\infty} がなりたつ。

この  {\displaystyle P} を固定する。

{\displaystyle \{(\sum_{k=1}^n |u_k|^P)^{\frac{1}{P}}\}_{n\in\mathbb{N}}} は上に有界な非減少実数列であるから、収束列である。

すなわち、任意の {\displaystyle \varepsilon \gt0} に対して、十分大きな {\displaystyle N\in\mathbb{N}} が存在して、
{\displaystyle (\sum_{n=N+1}^\infty |u_n|^P)^{\frac{1}{P}} \lt \frac{\varepsilon}{2}} がなりたつ。

この  {\displaystyle N} を固定する。

任意の {p \geq P} に対して、
{\displaystyle (\sum_{n=N+1}^\infty |u_n|^p)^{\frac{1}{p}}
\leq \sup_{n\geq N+1}|u_n|^{P(\frac{1}{P}-\frac{1}{p})}
(\sum_{n=N+1}^\infty |u_n|^P)^{\frac{1}{p}}
\leq
(\sum_{n=N+1}^\infty |u_n|^P)^{\frac{1}{P}}}
がなりたつから、任意の {p \geq P} に対して、
{\displaystyle (\sum_{n=N+1}^\infty |u_n|^p)^{\frac{1}{p}} \lt \frac{\varepsilon}{2}}
がなりたつ。

{\displaystyle \lim_{p \to \infty} N^{\frac{1}{p}} = 1} であるから、
ある  {\displaystyle P_N\gt0} が存在して、任意の  {\displaystyle p\gt P_N} に対して、

{\displaystyle N^{\frac{1}{p}} \lt 1 + \frac{\varepsilon}{{\displaystyle 2\sup_{n\in\mathbb{N}}|u_n|}}} がなりたつ。*1

このような  {\displaystyle p} に対して、

{\displaystyle (\sum_{n=1}^N |u_n|^p)^{\frac{1}{p}} \leq (\sum_{k=1}^N \sup_{n\in\mathbb{N}}|u_n|^p)^{\frac{1}{p}} = \sup_{n\in\mathbb{N}}|u_n|N^{\frac{1}{p}} \lt \sup_{n\in\mathbb{N}}|u_n| +  \frac{\varepsilon}{2}} がなりたつ。

よって、任意の  {\displaystyle p \gt \max \{P, P_N\}} に対して、

{\displaystyle (\sum_{n=1}^\infty |u_n|^p)^{\frac{1}{p}}
= (\sum_{n=1}^N |u_n|^p)^{\frac{1}{p}} +(\sum_{n=N+1}^\infty |u_n|^p)^{\frac{1}{p}}
\lt  \sup_{n\in\mathbb{N}}|u_n| + \varepsilon}

{\displaystyle \varepsilon \gt0} は、任意であったから、

{\displaystyle \lim_{p \to \infty}(\sum_{n=1}^\infty |u_n|^p)^{\frac{1}{p}}
\leq \sup_{n\in\mathbb{N}}|u_n| } がなりたつ。

以上で問題の証明が完了しました。

このような問題が生まれた経緯としては、数列空間 {l^p }の話が根底にあります。
数列空間 {l^p} とは、

{\displaystyle l^p=\{ \{u_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathbb{C}
\mid(\sum_{n=1}^\infty |u_n|^p)^{\frac{1}{p}} \lt +\infty \}   (1\leq p \lt \infty)}

{\displaystyle l^\infty=\{ \{u_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathbb{C}
\mid\sup_{n\in\mathbb{N}}|u_n| \lt +\infty \}}
という数列の空間です。

上の問題は、 {l^p}空間を {p \to \infty}とした場合、{l^\infty}とどのような関係にあるのか、というのが気になって出来た問題です。

{l^p}空間を {p \to \infty}とした空間を{\displaystyle \lim_{p \to \infty}l^p}と書くことにします。すなわち、

{\displaystyle \lim_{p \to \infty}l^p=\{ \{u_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathbb{C}
\mid\lim_{p \to \infty}(\sum_{n=1}^\infty |u_n|^p)^{\frac{1}{p}} \lt +\infty \} }

と定義することにします。*2

上の問題の主張から、{\displaystyle \lim_{p \to \infty}l^p \subset l^\infty}が、分かります。

しかし、任意の {\displaystyle n\in\mathbb{N}}に対して、{\displaystyle u_n = 1} である数列 {\displaystyle \{u_n\}_{n\in\mathbb{N}}} を考えると、

{\displaystyle \lim_{p \to \infty}(\sum_{n=1}^\infty |u_n|^p)^{\frac{1}{p}} = +\infty },  {\displaystyle\sup_{n\in\mathbb{N}}|u_n| = 1 } より、

{\displaystyle \{u_n\}_{n\in\mathbb{N}} \in l^\infty } かつ {\displaystyle \{u_n\}_{n\in\mathbb{N}} \notin \lim_{p \to \infty}l^p } が分かります。

よって、{\displaystyle \lim_{p \to \infty}l^p \subsetneqq l^\infty} が成り立ちます。

一見別々の形で定義されている {l^p} 空間と {l^\infty} 空間に繋がりがある、というのはとても面白いことだと思いました。また面白いことがあったら書いていきたいです。

*1:{\displaystyle \sup_{n\in\mathbb{N}}|u_n|=0} の時、問題の等式は明らかに成り立つから、 {\displaystyle \sup_{n\in\mathbb{N}}|u_n|\neq 0} として考える。

*2:この定義は僕が勝手にしたものなので、実際にこのように使われているかは知りません。

院試の過去問の復習をしていたら、今までわかっていなかった表現行列というものの正体がふと分かった。

 

今まで全く分からなかったものが、すっと分かった時、ずっと乗れなかったのにあるときふと補助輪無しで自転車乗れた時のような感覚、クリアできなかったアクションゲームの動きのコツをつかんだ時のような感覚がある。

 

数学を勉強するって、そういうことの繰り返しだよなあと思った。

何度も自転車を乗れるようになった喜びを味わえるのだけど、それは裏を返せば、何度も自転車に乗れない辛さを味わうことでもある。

 

それに加えて、運転できるようになる乗り物が増えれば増えるほど、運転できない乗り物の多さを実感していくんだろうなあ。

発表が終わった

卒業単位となるテキストの輪読の前期発表分が終わった

自由じゃ~~~うお~~ドンドンドン

 

後は大学院の入試に専念するだけ

 

院試勉強会で未解決であった問題に手を付けようと虚二次体について調べていた。

特に問題がこれを使えば解けるというようなものは得られなかったが、虚二次体は非常に学生の論文に使いやすい題材なのか、ボンボンと修士論文やら学士論文やらがヒットした

 

僕の知らない題材についてこうも多くの人が取り扱っているのかと思うと非常につらい

頑張るしかないんだなあという気持ちになりました、はい

日記

うあーなんもしてねえ

 

13時起きで2時間くらい死んだようにタイムライン見ていて

15時に近くのカフェで勉強

→18時くらいに図書館に移って勉強

→21時くらいに近くに出来たサ○ゼリアでワイン飲んでた

 

ゼミの予習がいい感じのところまで来たので、明日ちょっとやれば終わる

やはり数学は楽しい

明後日の発表に備えるぞい

日記

10時起床で10時半より講究。

 

その後ひたすら次の発表の予習をしてたら、テキストの定理の証明が分からずに3,4時間考えていたが、良い結果は得られなかったので、ググったら、wikipediaにきちんとした証明が載っていた。この著者間違えているんじゃないかなあという気持ちになった。頑張ってほしい。

 

一緒にゼミをやっている人たちが受けていた院試の合格発表が出たらしい。(僕は、願書を書くのを面倒くさがって受ける資格を得られなかった。)話を聞く限りでは知り合いはみな合格していて、それはとても喜ばしい。僕も頑張らんとなあ…。

日記

日記を義務感により毎日続けるのは合理的な選択なのだろうか。

今まで続けてきたからこれからも続けるというのは埋没費用にとらわれているのではないか、という気持ちにはなるけど、今日は書きたいから書こう。嫌になったらすぐやめよう。今のは日記が途絶えた時の言い訳として使います。

 

12時過ぎに起床し13時より院試ゼミを行った。

段々問題を解く雰囲気が掴めてきた。しかし院試まで時間はなく、学部で勉強したことを体系的に理解して院試に挑むのはもはや不可能であろう。過去問を解きながら穴だらけの記憶を少しずつ埋めていくほかない。

 

滑り止めくらいは受けておいた方が良かったかもしれないなあ。

 

その後ゼミの予習をした。

初め1時間くらいはさっぱり分からず唸っていたが、定義の和訳し間違えが判明しそこからは、少し理解が進んだ。分からなかったことが少しでも分かると、かなり嬉しい。僕は数学科に来て良かったんだと思う。ほかの学科に入って、無事生きていけているさまを想像できない。

 

日記

また日記を付けてみよう。

 

12時過ぎに起床。

水曜3限にミクロ経済学の授業を取っていたが、面倒くさくなったので受講をやめた。授業はどうもライフスタイルに合わない。精神衛生によろしくない。

お昼に担担麺屋でご飯を食べた。財布を忘れて取りに帰った。

その後、電気屋でタブレット端末を見た。手書きノートや計算用紙代わりに使うのであれば、10インチは必要だと思った。ipadかipadproかmediapadがちょうどよいか。予算と性能を照らし合わせるとipadが良さそうだが、スマートフォンandroidなので操作がちぐはぐになって面倒くさそう。タブレットに詳しいマンに聞きたい。

その後、適当にゼミの予習をした。試験期間ともあって学食の2階のフリースペースでは期末試験に向けての勉強をしている人が多かった。ストレスフルな生活を送っていて大変そうだと思った。

試験に向けてつくろった勉強で単位を貰ったり、大学に受かったり。大学院に受かったり。就職に向けてつくろった自己像で自己PRを書いたり。しんどいですね。

ゼミ予習もそこそこに嫌気がさして、おうちに帰った。夕飯は何処で食べようかな。